Courbe de vraisemblance

Pour un test de n items dichotomiques (avec 1=réussite et 0=échec], on peut avoir 2n profil de réponses (par exemple pour 3 items (A1,A2,A3), les profils de réponses sont au nombre de 23=8 : [0,0,0), [0,0,1], [0,1,0], [0,1,1], [1,0,0], [1,0,1], [1,1,0], [1,1,1]). Puisque l'on connaît les CCI des items, on peut calculer la probabilité p(x) de chacun de ces profils pour chaque valeur de θ (thêta) en utilisant d'une part la propriété d'indépendance locale et d'autre part le théorème qui dit que la probabilité que plusieurs événements indépendants se produisent est égal au produit de leur probabilité.

p(E1 ...Ej...En) = Πjp(Ej)

Dans notre exemple avec 3 items, la probabilité de l'événement [0,1,0], pour une valeur de θ = 1 par exemple sur le trait latent, sera donc le produit de la probabilité de réussite à l'item A2 et la probabilité d'échec à l'item A1 et A3, calculer à partir des CCI de chaque item pour la valeur θ = 1. Sachant que la probabilité d'échec est égale à un moins la probabilité de réussite [p(Ai/θj)] donnée par la CCI, on a dans notre exemple :

p([0,1,0]/θj=1) = [1-p([A1]/θj=1)] *[p([A2]/θj=1)]*[1-p([A3]/θj=1)]

On peut calculer cette probabilité pour chaque valeur de thêta (de -3 à +3) et obtenir ainsi, pour un profil de réponse donné, une courbe de vraisemblance (cf. schéma ci-dessous). Cette courbe passe par un maximum qui correspond à la valeur θ qui sera attribuée à la personne qui a ce profil de réponse. Dans l'exemple ci-dessous, ce score, pour le profil [A1,A2,A3]=[0,1,0] est de 1.14.

Figure E.8 :  Courbe de vraisemblance pour la configuration de réponse à 3 items [0,1,0]

Remarque : ce qui permet de déterminer le niveau n'est plus la somme des scores (points obtenus = performance) mais le profil des scores. Le même total de points, qui dans une perspective classique correspond à une seule performance, peut correspondre à deux niveaux de thêta différents donc à des positionnements différents sur le trait latent.