Valeurs propres et vecteurs propres

Valeurs propres et vecteurs propres

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L'ensemble des saturations des variables pour une composante constitue un vecteur propre. La valeur propre (ou "eigenvalue") est la somme des carrés de ces saturations. Elle représente la quantité de variance du nuage de points expliquée par cette composante (pour en savoir plus sur la variance d'un nuage de point, cf. le glossaire "NUAGE DE POINTS".

Le rapport de la valeur propre au nombre de variables soumises à l'analyse donne le pourcentage de variance expliquée par la composante (taux d'inertie).

Notes :

®Les valeurs propres peuvent prendre des valeurs comprise entre 0 et la quantité de variance à expliquer. En ACP (telle qu'elle est utilisée en psychologie) la quantité de variance à expliquer est égale au nombre des variables (car les variables sont centrées réduites pour l'analyse et chaque variable à une variance de 1).

®Avant toute rotation, la valeur propre de la première composante est toujours la plus élevée (elle rend compte du maximum de variance), ensuite vient la valeur propre de la seconde composante (celui-ci rend compte du maximum de variance restant à expliquer), puis la valeur propre de la troisième composante, etc.). Cette propriété est la conséquence des contraintes fixées lors de la méthode d'extraction des facteurs.

®Sachant qu'en ACP on interprète les n premières composantes, la quantité de variance expliquée par ces n premières composantes ensemble est égale à la somme de leur valeur propre. Le pourcentage de variance expliquée par le système de facteur est donc cette somme des valeurs propres divisée par  la trace de la matrice de variance covariance (= le nombre des variables en ACP, cf. glossaire) le tout multiplié par 100. Cette valeur qui est aussi égale à la somme des communautés traduit l'importance du système de facteur retenu.

Exemple

Le tableau suivant reprend la table des saturations. Dans ce tableau, la colonne en gris est le vecteur propre correspondant à la composante F2  et la cellule en bleu est la valeur propre (ici égale à 1.45). Le nombre des variables étant égal à 10, la variance du nuage de points est de 10 (car il y a 10 variables de variance égale à 1 dans l'analyse) et la composante F2 explique donc 14,5% de la variance totale (1,45*100/10).


F1

F2

F3

F4

h2

Variable 1

.766

-.244

.273

.215

.76

Variable 2

.559

-.432

.248

.019

.56

Variable 3

.177

.078

.640

-.565

.77

Variable 4

.327

-.144

-.610

-.525

.77

Variable 5

.712

-.404

-.114

.260

.75

Variable 6

.301

.613

-.136

.127

.50

Variable 7

.564

.151

-.422

-.446

.72

Variable 8

.352

.475

-.027

.163

.38

Variable 9

.483

.578

.120

.247

.64

Variable 10

.133

.245

.451

-.395

.45

Valeurs propres

2.32

1.45

1.37

1.16

6.30



Pour aller plus loin...

Définition formelle. En mathématique, la notion de valeur propre s'applique à des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même (endorphisme diagonalisable). Un scalaire λ est une valeur propre d'une matrice U s'il existe un vecteur x (appelé alors vecteur propre) non nul tel que u(x) = λx.  Les valeurs propres (x) d'une matrice (U) respectent la règle : Ux -  λx = 0