Rotation

Rotation

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La table initiale des saturations est souvent difficilement interprétable car les facteurs extraits répondent à une règle d'extraction simple : la première composante explique le plus de variance, la seconde est orthogonale à la première et explique le plus de variance restante, etc.  Pour repérer les groupes de variables et donner un sens au système de composantes retenues, on effectue une rotation qui vise à rendre interprétable la table des saturations. On parle de rotation car il s'agit de faire tourner dans un espace vectoriel (les variables sont des vecteurs) les axes représentant les composantes(*).

L'objectif d'une rotation est toujours de simplifier la lecture de la table des saturation. Simplifier la lecture implique dans chaque rangée de la table de saturation que l'on trouve un maximum de saturation proche de 0 et un minimum de saturation en valeur absolue très élevé (idéalement une seule). De nombreuses solutions sont possibles et le choix d'une rotation dépend des hypothèses de recherche. Pour simplifier il existe deux groupes de rotation : les rotations orthogonales et les rotations obliques.

Rotations orthogonales : ces rotations maintiennent l'orthogonalité entre les composantes. On utilise ces rotations lorsque l'on suppose que les composantes sont indépendants les uns des autres.

Rotations obliques : Les rotations obliques sont utilisées lorsque les composantes ne sont pas supposés indépendantes (il existe des corrélations entre elles). Dans l'absolu, ce type de rotation ne  devraient pas être utilisées en ACP.

VARIMAX - Une rotation fréquemment utilisée

Cette rotation orthogonale permet d'obtenir une structure simple dans laquelle le nombre de variables corrélées avec un axe factoriel (composante) est maximisé. En effet, le but d'une rotation VARIMAX est de rechercher une structure simple : on fait tourner les axes de façon à augmenter le nombre de saturations fortes et faibles sur chacun des facteurs. Autrement dit, on recherche un système d'axe minimisant au maximum le nombre des saturations moyennes.

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(*)  En fait chaque variable est un vecteur ayant comme coordonnées les saturations observées sur chacune des composantes (cf. : représentation graphique). Ce système définit donc la base de cet espace vectoriel. Faire une rotation, revient, sans changer de position les variables dans cet espace, à rechercher une nouvelle base qui à la même origine mas des axes factoriels différents (plus facilement interprétables). En fait c'est comme si pour situer un objet dans une pièce, on prenait comme référence, non plus le coin droit de la pièce formé par les intersections des murs entre eux et du sol, mais à partir du même point, l'axe haut-bas, et l'axe nord-sur et l'axe est-ouest. Les coordonnées de l'objet changent mais il reste au même endroit.



Exemple de rotation VARIMAX

Table des saturations avant rotation


F1

F2

F3

F4

h2

Variable 1

.766

-.244

.273

.215

.76

Variable 2

.559

-.432

.248

.019

.56

Variable 3

.177

.078

.640

-.565

.77

Variable 4

.327

-.144

-.610

-.525

.77

Variable 5

.712

-.404

-.114

.260

.75

Variable 6

.301

.613

-.136

.127

.50

Variable 7

.564

.151

-.422

-.446

.72

Variable 8

.352

.475

-.027

.163

.38

Variable 9

.483

.578

.120

.247

.64

Variable 10

.133

.245

.451

-.395

.45

Valeurs propres

2.32

1.45

1.37

1.16

6.30


Table des saturations après rotation VARIMAX


F’1

F‘2

F’3

F’4

h2

Variable 1

.845

.201

-.026

.117

.76

Variable 2

.724

-.109

.045

.155

.56

Variable 3

.099

-.064

.011

.869

.77

Variable 4

.064

-.095

.869

-.080

.77

Variable 5

.809

.080

.185

-.234

.75

Variable 6

-.089

.688

.144

-.044

.50

Variable 7

.160

.274

.779

.099

.72

Variable 8

.057

.608

.039

.025

.38

Variable 9

.171

.772

-.065

.116

.64

Variable 10

-.018

.117

-.001

.658

.45

Valeurs propres

1.97

1.61

1.42

1.30

6.30


On peut remarquer que cette rotation (comme toutes les rotations orthogonales) entraîne une redistribution de la variance expliquée par chaque facteur (les valeurs propres changent) mais la rotation ne modifie pas les communautés et donc la variance totale expliquée.